Poutres-voiles

Les poutres-voiles constituent des éléments de parois fléchies dans leur plan moyen, de portée inférieure à trois fois la hauteur, pour lesquels la méthode des bielles et tirants
(B-T) selon l’Eurocode 2-1-1 est applicable pour leur justification [EC2 : 5.3.1 (3)].
Après une identification des modèles B-T à considérer dans les calculs, une justification des tirants, bielles et nœuds est présentée, de façon générale, pour les poutres-voiles à une travée soumises à des charges verticales uniformes en partie supérieure.


REM : Les voiles en console, dont le porte-à-faux est inférieur à une fois et demi la hauteur, peuvent également être modélisés et dimensionnés par la méthode des bielles et tirants.


1. Modélisation en bielles et tirants


L’étude des modèles de bielles et tirants ne concerne que les cas usuels de poutres-voiles (dans les régions de discontinuité D) isostatiques et hyperstatiques soumises à une charge verticale uniforme appliquée en partie supérieure ou en partie inférieure. Le cas de la charge concentrée en partie supérieure est examiné pour les poutres-voiles isostatiques.


1.1. Poutre-voile soumise à une charge uniforme


1.1.1. Chargement en partie supérieure


a) Poutre-voile isostatique
 
Le modèle B-T est issu de l’étude du champ de contraintes d’une plaque dans le domaine élastique linéaire, de portée : L et de hauteur : h ; avec : h > L/3 (fig. 1).
 
Le bras de levier Z dépend de l’élancement de la poutre-voile L/h [1] :
soit : Z = 0,6 L;                           pour : L/h ≤ 1
où : Z = 0,54 h + 0,06 L ;             pour : 1 ≤ L/h ≤ 2
et : Z = 2/3 h ;                            pour : 2 ≤ L/h < 3


NB : la position, e, du tirant inférieur T par rapport à la sous-face peut prendre la valeur :
               e = 0,075 h ; pour : h < L ; et : e = 0,075 L ; pour : h ≥ L

 

Fig. 1 – Modèle B-T pour une poutre-voile d’une travée chargée uniformément en partie supérieure [1] :
              a) champ des directions principales des contraintes ;
              b) distribution des contraintes normales σx, σy (a/L = 0,1) ;
              c) modèle primaire associé (non affiné).

REM 1 : Lorsque l’élancement devient important (2 < L/h < 3 ), par analogie avec une poutre-voile soumise à une charge concentrée (fig.5), un modèle B-T et un modèle de poutre treillis peuvent être combinés. La part de la charge totale F équilibrée par le modèle de poutre treillis Fw/F (cf. 10.1.1.2.1a), issue d’une interpolation, est donnée en prenant en compte l’effet d’un effort normal NSd (avec : a = L/4) :
`(Fw)/F ~~ ((L//2Z)-1)/(3-N_(sd)//F)` ; pour : `2` ; avec : `N_(Sd) > 0` en traction


REM 2 : Par analogie avec la bielle d’appui d’une poutre-voile soumise à une charge concentrée (fig.4), le modèle affiné fait intervenir un tirant secondaire équilibrant l’effort transversal T2 de fendage de la bielle d’appui soumise à l’effort C1 (voir étude d’une poutre-voile – ch. 10.1.1.2)


b) Poutre-voile hyperstatique

Des modèles B-T pour les poutres-voiles continues peu élancées (avec : L ≤ h) sont donnés dans les recommandations de la FIP [2]. Les valeurs des bras de leviers et des efforts dans les tirants (fig.2 et 3) supposent des appuis rigides (même déplacement) :
            Bras de levier :- travée de rive ou travée intermédiaire : Z = 0,5 L ;
                                        - appui intermédiaire : Z = 0,35 L.
            Efforts dans les tirants : - travée de rive : T = 0,16 qL ;
                                       - travée intermédiaire : T = 0,09 qL ;
                                       - appui intermédiaire : T = 0,2 qL.

REM : Lorsque des tassements différentiels sont à prendre en compte, la grande rigidité des poutres-voiles impose de déterminer la répartition des réactions d’appui selon leur souplesse considérée. Dans une poutre-voile à deux travées appuyée en rive sur des voiles et en partie intermédiaire sur un poteau (dont la déformation est plus élevée) cela peut conduire à la suppression de l’effort dans le tirant supérieur au-dessus de l’appui intermédiaire (moment positif sur cet appui). De faibles tassements différentiels engendrent de fortes redistribution des réactions d’appui et des efforts internes correspondant.

 
Fig. 2 – Modèle B-T d’une poutre-voile continue (h ≥ L) à deux travées sous charge uniforme q/m en partie supérieure [ 2 ] : réactions d’appui, bras de levier et efforts dans les tirants.

 
Fig. 3 – Modèle B-T des travées intermédiaires une poutre-voile continue (h ≥ L) sous charge uniforme q/m en partie supérieure [ 2 ] : réactions d’appui, bras de levier et efforts dans les tirants.

1.1.2. Chargement en partie inférieure


a) Poutre-voile isostatique

Le modèle B-T fait intervenir deux tirants de suspente des charges inférieures pour reporter les efforts de traction T2 sur l’axe soumis aux efforts de compression C et C1 (fig. 4).
La géométrie du modèle est assimilée à celle de la poutre-voile chargée en partie supérieure où : T1 = T (cf. 1.1.1).

 

Fig. 4 – Modèle B-T pour une poutre-voile d’une travée chargée uniformément par le bas [1] :
                      a) champ des directions principales des contraintes ;
                      b) distribution des contraintes normales σx, σy (a/L = 0,1) ;
                      c) modèle primaire associé avec tirant T2 de suspente.

REM 1 : Afin de réduire l’ouverture des fissures, il est recommandé de limiter l’espacement des armatures de suspente à 15 cm [1].

REM 2 : En considérant le tracé de l’arc comprimé, la hauteur des armatures de suspente peut être réduite à 0,8 h au voisinage des appuis sur une distance égale à L/4.

REM 3 : Le poids propre de la partie de la poutre-voile située sous l’arc comprimé doit être pris en compte dans le calcul des armatures de suspente.


b) Poutre-voile hyperstatique

Comme précédemment, le modèle B-T fait intervenir des tirants de suspente des charges inférieures pour transmettre les efforts de traction aux nœuds supérieurs.


1.2. Poutre-voile soumise à une charge concentrée


La modélisation B-T concerne le cas d’une charge concentrée F agissant à mi-portée, (facilement
généralisable pour une position différente ) appliquée en partie supérieure.

REM : Les charges concentrées agissant en partie basse d’une poutre-voile doivent être suspendues de la même façon que
dans le cas des charges uniformes (cf. 1.1.2. ).


1.2.1. Poutre-voile d’élancement : L/h ≥ 1


a) Elancement L/h = 1 

Le modèle B-T comporte deux bielles de transmission de la charge aux appuis lorsque L/h = 1 (fig.5).

 
Fig. 5 - Modèle B-T pour une poutre-voile (h = L) soumise à une charge concentrée centrée F [1] :
a) champ des directions principales des contraintes ; b) modèle primaire associé ;
c) modèle affiné avec tirants secondaires T2 contrôlant le fendage transversal des bielles

 

b) Elancement L/h > 1

Pour une charge concentrée au voisinage a d’un appui, le modèle B-T est combiné avec le modèle de poutre treillis (fig. 6). La part de la charge F équilibrée par la poutre treillis Fw est donnée par interpolation en tenant compte de l’effet d’un effort normal Nsd (traction positive) [3] :
`(Fw)/F ~~ ((2a//Z)-1)/(3-N_(sd//F)` ; pour : `1/2<=a/Z<=2`

 
Fig. 6 - Modèles B-T pour une poutre-voile (h ≤ L) soumise à une charge concentrée [3] :
             a) élancement : a/z = 1/2 (ou : L/z = 1 ) : modèle B-T (1) ;
             b) élancement : a/z ≥ 2 (ou : L/z ≥ 4 ) : modèle flexion (2) ;
             c) élancement : 1/2 ≤ a/z < 2 (ou : 1 ≤ L/z < 4) : modèle combiné (1+2).

Pour une charge concentrée centrée (en prenant : a # L/2), il vient :
`(Fw)/F=(L//Z-1)/(3-N_(sd)//F)` ; pour : `1<=L/Z<=3`

1.2.2. Poutre-voile d’élancement : L/h <1


Les inclinaisons des bielles θ1 et θ2 sont sensiblement constantes (fig. 7) :
                  tan θ1 # 2,4 ( soit : θ1 # 67° )
             et : tan θ2 # 2 ( soit : θ2 # 63° )

Le bras de levier sous la charge Z3 dépend de l’élancement de la poutre-voile [1] :
             soit : Z3 = 0,5 L ;pour : L/h < 0,5
             ou : Z3 = 0,4 h – 0,3 L ; pour : 0,5 ≤ L/h ≤ 0,8
             et : Z3 = 0,8 h – 0,8 L ; pour : 0,8 < L/h < 1

 

Fig. 7 – Modèles B-T primaires pour une poutre-voile (h > L) soumise à une charge concentrée en partie supérieure [1] : a) élancement : L/h = 2/3 ; b) élancement : L/h ≤ 1/2.

REM : Lorsque L/h <1/2, la charge concentrée F agit dans la région de discontinuité supérieure D’ comme dans le cas d’une discontinuité partielle [EC2 : 6.5.3(3)].
La région de discontinuité inférieure D’’ correspond au cas d’un chargement uniforme de la poutre-voile (cf. fig.1). Il est possible de combiner, de cette manière, des modèles B-T types en fonction des régions de discontinuité concernées.

 

2. Justification des tirants, bielles et nœuds : poutre-voile à une travée chargée par le haut


A titre indicatif, après identification du modèle affiné, une justification générale est présentée dans le cas d’une poutre-voile à une travée, d’épaisseur b et d’élancement
H/L ≥ 1, chargée uniformément en partie supérieure. Les calculs sont conduits à l’ELU conformément aux articles de l’Eurocode 2-1-1 et à son Annexe Nationale [4].


2.1. Modélisation bielles-tirants (fig.8).


La zone active, de la poutre-voile est limitée à une hauteur égale à L (région de discontinuité D). Le bras de levier vaut : Z = 0,6 L. La position du tirant principal inférieur : e = 0,15 L/2. Les armatures principales sont disposées sur plusieurs lits, sur une hauteur : h = 0,15 L.
La transmission des charges aux appuis est assurée par deux demi-bielles soumises à un effort de fendage transversal équilibré par un tirant secondaire introduit dans le modèle affiné (fig. 8).

REM : Il est recommandé de prolonger les éléments porteurs formant appuis dans la partie active pour servir de raidisseur dans la hauteur de la poutre-voile.


 
Fig. 8 – Modélisation B-T affinée d’une poutre-voile chargée uniformément par le haut.

 

2.2. Vérification des contraintes dans le béton


2.2.1. Vérification des contraintes dans le nœud d’appui

Le nœud A est en compression-traction avec un tirant ancré dans une direction [EC2 : 6.5.4(4)b] :
 
σ Rd, max = k 2 ν' fcd
où : f cd = contrainte de calcul en compression
      f ck = résistance caractéristique en compression
et : ν' = 1 - f ck / 250
      k 2 = 0,85 (valeur de l' Annexe nationale)

Cette valeur de calcul σRd,max peut être majorée de 10% compte tenu de la présence des armatures principales disposées sur plusieurs lits [EC2 : 6.5.4 (5)] (fig. 9).


 
Fig. 9 – Détail du nœud sur appui.

 

a) Contrainte σRd,1
             σRd,1 = Fcd,1 /ab ≤ σRd,max ;
             où : Fcd,1 = RAd ;
             et : RAd = réaction d’appui de calcul à l’ELU ;
             RAd = Ped (L+a)/2 ;
             avec = PEd = charge de calcul /m.

REM : Les aciers de l’élément porteur formant appui peuvent être pris en compte dans cette vérification.

b) Contrainte σRd,2
`sigma_(Rd2)=(F_cd_2)/(a_2b)<=sigma_(Rd,max)`

où : `F_(cd2)=F_(AE)`

avec : FAE = effort de compression dans la bielle primaire AE ;
          FAE = RAd / sin θ ;
          et : a2 = a sin θ + h cos θ


2.2.2. Vérification des contraintes dans la bielle d’appui


La bielle qui se développe à partir de l’appui (fig. 8) est en zone de compression fissurée (avec armatures
transversales secondaires contrôlant le fendage) :
soit : `sigma_(Rd,max)=0,6v'f_(cd)`  `[EC2:6.5.2(2)]`

La largeur maximale de la bielle b’ est estimée en considérant une demi-bielle
AE : b’ = (L+a) / 2 sin θ
La contrainte moyenne de calcul σc2 dans la bielle vaut :
`sigmac2=(F_(cd_2))/S<=sigma_(Rd,max)`
où : S = section moyenne
       b = épaisseur du voile
       S = (b b' + a2b) / 2


2.3. Section d’armatures [EC2 : 6.5.3]


2.3.1. Armatures principales (tirant A A’)

`A_s = R_(ad)/(tanthetaf_(yd))` où : `R_(Ad) = (L+a)/2` et : `fyd = fyk//gammas` `tantheta=(4z)/(L-a)`

REM : Il convient d’ancrer ces armatures, disposées sur plusieurs lits, dans le nœud d’appui (fig. 9), soit en utilisant des retours en U, soit au moyen de dispositifs d’ancrage [EC2 : 9.7 (3)].


2.3.2. Armatures secondaires (tirant CB)


a) Effort de traction [EC2 : 6.5.3 (3)] 

En considérant une demi-bielle AE de longueur h’ à l’appui placée dans une zone de discontinuité partielle (fig. 8), l’effort de traction vaut :
`T=F/4 ((b'-a')/b')` ; avec : b'< h'
où a'=`a_2` : F=`F_(AE)` ; et : h'=H'/2 `~=` Z/sin `Theta`
                                  b' = largeur maximale de le demi-bielle     

Cet effort est réparti sur une longueur de 0,8 h’.


b) Armatures secondaires horizontales

Ah = T sin θ / fyd ; sur une hauteur de 0,8 h = 0,8 Z

Soit, par face de la poutre-voile : Ah/m = Ah/ 2(0,8) Z ≥ As, db min/m

où : As,db min/m = section minimale d’armatures sur chaque face par unite de longueur des
                   poutres-voiles [EC2 : 9.7 (2)].
       As,db min = max [0,001 Ac ; 1,5 cm² /m]
avec : Ac = section du voile par unité de longueur.

De plus, l’espacement sh entre deux armatures :
             sh ≤ sh,max = min [2b ; 30 cm] ; [EC2 : 9.7(2)]
             où : b = épaisseur de la poutre-voile.
 
c) Armatures secondaires verticales

Av = T cos θ / fyd
Sur une longueur de 0,8 Z / tan θ
Soit, par face de la poutre-voile :
Av/m = Av.tan θ / 2(0,8) Z ≥ As,db min/m
Et : sv ≤ sv,max = sh,max


 
Fig. 10 – Schéma de ferraillage d’une poutre-voile chargée uniformément par le haut :
          (1) Armatures principales ; (2) Armatures secondaires verticales ;
          (3) Armatures secondaires horizontales contrôlant le fendage des bielles d’appui ;
          (4) Armatures minimales horizontales des poutres-voiles [EC2 : 9.7 (2)].